19.04.19 2일차 다항식의 연산2

용어 이후로 다음 진도를 나갔다. 다항식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈, 그리고 나눗셈이다. 이후 개념 콕콕과 예제 1까지 풀었다.

 

 곱으로 연결된 문자나 상수를 항이라고 하고, 이로 이루어진 식을 다항식이라고 한다. 여기서 다루는 부분은, 다항식 끼리 연산하는 과정이다.

 

 덧셈과 뺄셈 파트. A라는 다항식이 있고, B라는 다항식이 있다면, 다항식끼리 더하는 경우 각 항의 동류항끼리 더해서 계산한다. 만일 A - B 같은 경우,  A + (-B) 라고 생각해야한다. 나는 이게 처음에 헷갈렸다. 예전에 배운 기억이 있는데, +와 -를 곱하면 -가 되고 -와 -를 곱하면 +가 되고 뭐 이런 거였다. 그러니까 A - B는 B 다항식의 각 항에 -1을 곱한 채로 더해야한다. 근데 이게 도대체 무슨 말이지?

 

 이건 금방 생각해낼 수 있었다. 더하기 빼기는 사탕 몇 개를 주고 빼앗고 하는 개념이 아니다. 내 수학 개념은 아직 미취학 아동 단계에 머무르고 있었군. 더하기와 빼기는 수직선으로 이해를 해야한다. 그러니까, 수직선에서 중심점으로부터 얼마만큼 이동했냐를 나타내는 개념이라고 생각한다면, 다항식 -B는 B라는 다항식의 값만큼 음의 방향으로 이동하는 값이 된다. 그렇기 때문에 다항식 B에 -1을 곱한 채로 더하면 A - B의 답을 얻을 수 있게 된다.

 

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 곱셈파트에서는 잊고 있던 지수법칙이 잠깐 등장했다.

1. 같은 문자의 제곱끼리 곱할 경우, 그 문자에 대해 지수끼리 더한 값과 같다. 이것은 제곱이 그 문자의 곱이기 때문에 가능하다. a²a⁴ = (a x a) x ( a x a x a x a) 이므로, 결국 a가 6번 곱해진 것과 같다.

 

2. 어떤 문자의 제곱의 제곱은, 그 문자의 지수와 그 제곱수의 곱과 같다. (x³)² 의 경우,  x³의 제곱이므로, x의 세제곱이 두 개 있는 것과 같다. 괄호 밖의 제곱 수의 따라 괄호 안의 지수가 곱해지는 것과 같으므로, 지수끼리의 곱으로 나타낼 수 있다.

 

3. (xy)ⁿ = xⁿyⁿ   이건 약간 헷갈렸었다. xy를 n번 제곱해도, x와 y는 결국 곱셈으로 연결 되어있다. 곱셈끼리는 교환법칙이 성립하므로, (위치를 바꿔줘도 값이 같다) 예를 들어 (xy)³은 xyxyxy고, x끼리 y끼리 정리하면 xxx yyy, 곧 x³y³ 이다.

 

 여기서 기억해두어야할 것은, 다항식끼리의 곱셈에서도 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다는 거다.

그러므로 다항식끼리의 곱셈식을 보게 된다면, 지수 법칙과 분배법칙을 이용해서 동류항을 간단히 하는 것을 우선으로 한다.

그리고 상수항도 항이라는 것을 잊지 말자.

 

 

나눗셈 파트에서는  역시나 지수법칙이 등장한다. 대부분 곱셈과 다르지 않다. (모르는 부분. 나누는 지수가 나누어지는 지수보다 높을 경우 분수꼴이 되는 것.. 내일 알아보자)

 

 다항식끼리 나눌 때는, 자연수를 나눌 때와 방식이 같다. 두 다항식을 내림차순으로 정리한 후, 나누어지는 다항식의 차수가 나누는 다항식의 차수보다 같거나 낮아질 때까지 (나눌 수 있을 때까지) 나눈다.

 

 자연수의 나눗셈과 마찬가지로, A를 B로 나누었을 때, A = Bx몫 + 나머지 이다.

 

이후, 개념콕콕과 예제는 쉬워서 문제없이 풀었는데, 1-3 개념 넓히기 문제에서 약간 아쉬운 부분이 있었다.

세 다항식에 대한 식이 세 개와 세 다항식과 미지의 다항식 X가 포함된 식이 주어지고, 미지의 다항식 X를 구하는 문제였다. 나는 그냥 세 다항식에 대한 식 세 개를 더하고 빼고 해서 각 A, B, C 의 다항식을 구했다. 그리고 X가 포함된 식에 대입해서 풀었다. 그래서 계산 과정이 길었는데, 풀이를 보니, 세 다항식에 대한 식 세 개를 건드리기 전에 X가 포함된 식을 최대한 간단하게 (주어진 다항식들과 모습이 비슷하도록) 정리하는 것이 먼저였다. 그리고 그런식으로 풀면 두 번만 계산하면 답이 나왔다.

 

 여기서 얻은 교훈은, 주어진 식이 있고, 그 식을 동류항끼리 간단하게 만들 수 있는 여지가 있으면 무조건 그것을 먼저 해보자는 거다. 그러기 위해선 어떤 식들이 더 간단하게 정리가 가능한 식이며, 이를 통해 주어진 다른 조건들과의 유사성을 찾아낼 수 있는지 알 수 있어야 한다. 아마 문제를 많이 풀어보라는 의미가 그게 아닐까 싶다.

 

 내일은 남은 예제 두 부분을 풀고 진도를 나가봐야겠다. 문제가 아직 어렵지 않았고, 개념을 이해하는 과정이 즐거웠다. 오늘 얻은 배움을 계속 적용하면서 문제를 풀어봐야겠다.