19.04.22 3일차 다항식의 연산 예제

 우선 저번 시간에 이해 못한 부분을 짚고 넘어간다. 나눗셈에서의 지수법칙 중, x의 m제곱 / x의 n제곱 꼴에서, n > m 일 경우 분수꼴이 되는 이유에 대해서 확인해봤다. 같은 문자의 제곱으로 이루어진 항을 똑같은 문제의 제곱으로 나눌 경우 분수꼴로 표현할 수 있다. 나누어지는 수가 나누는 수보다 클 경우에는 이 분수꼴에서 분모가 모두 소거되지만 반대의 경우에는 분자가 소거되고 분모만 남는다. 그러므로 분수꼴이 되는 것이다.

 

 오늘은 저번에 풀었던 예제 중 어려웠던 1-3 개념 넓히기 문제를 다시 풀고 갔다.

처음으로 내가 이 문제를 풀고 나서 중요하다고 했던 것은, 어떤 식들이 더 간단하게 정리가 가능한 식이며, 이를 통해 주어진 다른 조건들과의 유사성을 찾아낼 수 있는지 알 수 있어야 한다. 였다.

그리고 나는 그 방법이 이 파트에서는 동류항끼리 정리하는 일이라고 생각했다. 

하지만 이번에 문제를 다시 풀고, 정리해보면서 보다 구체적인 실마리를 얻을 수 있었다.

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 다항식 A,B,C에 대해서 

A+B = -x²+2xy+3y² , B+C = x²-xy-y² , C+A = 2x²+3xy+2y²    이렇게 세 식이 주어지고,

미지의 다항식 X에 대해서 X-2A = B+2C 라는 식이 주어졌다. 여기서 미지의 다항식 X를 구하는 문제였다.

 

 나는 맨 처음 이 문제를 풀 때 ABC에 관해 주어진 세 식을 복잡하게 더하고 빼서 A, B, C 세 다항식을 각각 구한 뒤에 X가 들어있는 식에 다 대입해서 답을 얻었다. 단순하지만 계산이 복잡해서 시간이 오히려 오래 걸렸다. 하지만 중요한건 주어진 조건을 현명하게 사용하지 못했다는 거다. 이것은 조금만 숫자를 복잡하게 주거나, 조건을 불투명하게 준다면 사용할 수 없는 방법인지도 모른다. 그래서 새로운 방법을 시도했고, 그 과정을 서술한다.

 

 우선, 아까 말한 것처럼, 식을 최대한 간단하게 정리하기로 했다. 다항식의 연산 파트에서 배운 개념을 사용하면, 이는 동류항끼리 합치는 방법으로 가능하다. 가장 눈에 띄는 식인 X에 관한 식을 정리해본다.

 

X-2A = B+2C  (이항)

X = 2A+B+2C

 

 자, 여기서 필요한 것이 직관이다. 구해야하는 다항식 X는 2A+B+2C 과 같다. 지금은 A,B,C 각 다항식의 정확한 값 대신에 A+B , B+C , C+A 세 개의 값을 알고 있다. 이 세 개의 식 (주어진 1번 조건) 과 X = 2A+B+2C (주어진 2번 조건) 과의 유사성을 찾을 수 있는가?

 

 이걸 어떻게 찾을 수 있을까? 수학적 직관이란 무엇일까?

 

A,B,C에 관한 주어진 세 식과, 미지의 다항식 X에 관한 식은 모두 A,B,C에 관한 식이라는 것이 이 문제의 열쇠다.

나는 이것을 처음부터 알 수 없었다. 그렇기 때문에 우선 가능한 한 주어진 조건을 쉽게 정리해본 것이다. 

문제를 풀기 위해서는 주어진 조건을 활용해야할 것이다. 문제를 풀기 어려운 이유는 이같은 주어진 조건간의 연결고리를 찾기가 쉽지 않아서다. 조건은 분명히 연결되어있다. 수학적 직관은 그 조건간의 연결고리, 즉 유사성을 찾는 힘이다.

 

 그럼 찾아낸 공통점에 주목해 식을 발전시켜본다. 만약 A+B, B+C, C+A 세 개의 다항식을 모두 더해본다면, 2번 조건과 비슷한 식이 나올 수 있지 않을까?

 

 A + B

       B + C

 A +    + C

= 2A+2B+2C

 

 

1번 조건에서 2A+2B+2C라는 식을 얻었다. 이제 1번 조건은 2번 조건과 더 유사해져서 A+B+C의 꼴로 나타낼 수 있다는 것을 알아채기 쉬워졌다.

 

두 식 모두 A+B+C의 꼴로 나타내면,

 X = (A+B+C)+A+C  (다항식의 나눗셈) , (A+B)+(B+C)+)C+A) = 2(A+B+C)

이다.

 

 그럼 이제 미지의 다항식 X를 구하기 위해서는 두 번의 계산이 필요하다.

 

 A+B+C와 A+C를 구하는 것. A+C는 이미 조건에서 C+A의 값이 있으므로, 따로 구할 필요 없다.

A+B+C는 주어진 A,B,C에 관한 세 식을 모두 더한 2(A+B+C) 를 2로 나눈 값과 같다.

 

 주어진 세 식을 더하고, 2로 나눈 후, C+A를 더해주면 X를 구할 수 있다.

 

정리하면,

 

식을 간단하게 하면(동류항끼리 정리), 조건이 유사해진다(두 조건은 모두 A,B,C에 관한 식이다).

그렇게 얻어낸 조건들에서 관계를 찾아낸다.((A+B+C) 꼴의 형태) 이제 그 관계를 주목하면서 식을 더 변형해본다.

 

나는 각 단계에서 필요한 것이 수학적 직관이라고 생각한다. 그리고 이를 위해서는 해당 수학 개념이 확실하게 머릿속에 있어야한다. 개념이 잡히지 않은 상태에서 풀이 과정은 일종의 터무니없는 도약으로 느껴질 수 있다. 하지만 개념이 확실하다면 조건 사이에서 어떤 공통점을 찾아낼 수 있다. 이건 마치 언어 공부할 때, 어느 순간 듣기가 되는 것과 같다. 아는 것만 들리는 것처럼, 아는 것만 보인다. 이를 통해 식을 변형할 줄 알아야하며, 변형된 식에서 또 다른 유사성을 발견할 줄 알아야 한다.

 

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 1-3을 복습한 후 2번 예제로 넘어갔다. 2번 예제는 다항식의 곱셈에 관련한 예제이다. 대부분은 식을 전개하는 문제였으므로 단순 계산이었다. 하지만 2-3 문제에서 또 다시 문제가 생겼다. 내가 곱셈에 대한 개념이 확실하지 않았던 것이다.

 

나는 1일차에 (a+b)c = ac+bc 가 어떻게 가능한지에 대해서 알아봤다. 그것은 곱셈이 곧 덧셈이기 때문에 가능하다는 결론이었다. (a+b)c 는 (a+b)가 c개 만큼 있는 것이고, (a+b)+(a+b)+(a+b)... 의 꼴이며 덧셈에 대해서는 교환법칙이 성립하므로, 이는 곧 a+b+a+b+a+b+a+b.. 의 형태이다. 그것을 이용해 똑같이 a+a+a+a+b+b+b+b.. 꼴로 나타내면, 이는 곱셈으로 나타낼 수 있다. 곧 a가 c만큼 있고 b가 c만큼 있는 것이기 때문에, ac+bc가 되는 것이다.

 

하지만 (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd 라는 것을 확실하게 이해하지 못했다. (재미있는 일이다.) 이걸 내가 언제 알아차렸냐면, (a+b)(c+d)(e+f) 꼴의 식을 전개할 때였다. 저 앞에 것을 확실하게 알지 못하니까 갑자기 너무 혼란스러워졌다.

얼추 감으로 그런가보다하고 문제를 풀었다. 내가 알아낸 답과 정답이 부호가 달랐다. 저 개념이 확실하지 않으니까 계산 도중 뭘 실수했는지 알 수가 없었다. 오늘 알아내고 자고 싶었는데, 시간이 늦어서 오늘은 이만하도록 한다.

 

 알아야할 것. (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd 가 가능한 이유. 나아가 (a+b)(c+d)(e+f) 를 전개하는 법.

 

 

 며칠 바빴고, 집에서는 영 집중이 되지 않아 오늘은 운동을 마치고 카페에 나가서 수학공부를 했다. 집중도 잘 되고 정말 재미있는 시간이었다. 수학적 직관에 대한 생각을 하고 나니, 문제 푸는 일이 조금씩 즐거워진다. 태어나 처음으로 예제 풀기가 기다려진다.